Vier jaar nadenken en programmeren kostte het, plus 77 uur supercomputertijd, maar dan heb je ook wat: een tabel van 453.060 bij 453.060 getallen, ofwel 205.263.363.600 stuks, samen de karaktertabel van de ‘Lie-groep’ E8. Dat resultaat maakten wiskundigen van afgelopen maandag bekend in een presentatie aan het Amerikaanse Massachusetts Institute of Technology (MIT). ‘Het is een spectaculair resultaat. E8 is de meest mysterieuze Liegroep die er bestaat’, zegt Tonny Springer, emeritus hoogleraar wiskunde aan de Universiteit Utrecht, ‘al is het heel lastig om uit te leggen wat het precies inhoudt.’ Lie-groepen zijn genoemd naar de Noorse wiskundige Sophus Lie (1842-1899), die ze voor het eerst beschreef. Ze beschrijven op een abstracte manier symmetrieën, zoals die van een bol, een ellips, of een cirkel. Als je die een klein eindje draait rond een bepaalde as, zien ze er nog hetzelfde uit, en dat is de essentie van symmetrie. Bij de draaisymmetrie van een cirkel hoort bijvoorbeeld de tamelijk eenvoudige Liegroep SO2(R), die wiskundig weergegeven kan worden als een een tabelletje van getallen waarin de rotatiehoek verwerkt is. Bij andere symmetrieën, bijvoorbeeld van objecten in hogere dimensies, horen ingewikkelder Liegroepen. Sinds Lie’s werk heeft onderzoek hieraan geleid tot een enorm wiskundig bouwwerk, waarvan elementen vaak onverwacht opdoken in heel andere takken van de wiskunde, zoals getaltheorie en de theoretische natuurkunde. Zo worden elementaire deeltjes als quarks en elektronen, en hun wisselwerkingen, wiskundig beschreven met Liegroepen. Iedere Liegroep bleek samen te stellen uit een aantal 'elementaire Liegroepen', net zoals ieder geheel getal altijd een product is van priemgetallen. Deze elementaire Liegroepen, een soort atomen van de Liegroepenwereld, zijn er in vier reeksen met de weinig fantasievolle namen: A1,A2, en zo verder, plus dezelfde reeksen met de letters B, C, en D. Maar daarnaast zijn er nog vijf ‘exceptionele’ elementaire Liegroepen, eigenaardig onaangepaste gevallen die zich niet een rijtje laten drukken, met de namen G2, F4, E6, E7, en E8. Ze hebben respectievelijk 14, 52, 78, 133 en 248 dimensies. E8, de allergrootste en alleringewikkeldste van deze buitenstaanders dook in 1887 voor het eerst op. Dit reusachtige 248-dimensionale wiskundebouwsel beschrijft symmetrieën van meetkunde in 57 dimensies. ‘Het was eerst een heel esoterisch onderwerp, maar in de loop van de tijd liep men er steeds vaker tegenaan’, zegt Springer. Zo liepen natuurkundigen E8 tegen het lijf in de snarentheorie. Maar E8 tegenkomen betekent nog niet dat je hem echt kent. ‘E8 is zo ingewikkeld als symmetrie maar kan worden’, zei David Vogan van het team van achttien wiskundigen, vooral Amerikanen en de Nederlanders Marc van Leeuwen en Fokko du Cloux. Het team voltooide begin januari de berekening van de ‘Kazhdan-Lusztig-polynomen’ van E8, een soort manifestatie van de Liegroep in getallen. De gedachte dat je dat echt kunnen berekenen was tot voor kort tamelijk utopisch, vertelt Springer. Dat het nu toch gelukt is, was vooral te danken aan wiskundige vereenvoudigingen, snellere computers, en het programmeerwerk van Du Cloux, die vorig jaar overleed aan de spierziekte ALS. In een persbericht vergelijkt MIT de berekening zelfs met het Human Genome Project, waarin de DNA-volgorde van de mens werd vastgelegd, al kost E8 met 60 Gigabyte ongeveer 80 keer zoveel hardeschijfruimte. De getallenbrij zal worden toegevoegd aan de ‘Atlas of Lie Groups and Representations’, online raadpleegbaar. De verwachting is dat wiskundigen en theoretisch natuurkundigen ze zullen gebruiken voor hun onderzoek. Bruno van Wayenburg